Вычислительные методы в механике и теплофизике: учебный научно-исследовательский практикум

Скачать в pdf «Вычислительные методы в механике и теплофизике: учебный научно-исследовательский практикум»


Не следует забывать о том, что вычисления производятся на ограниченном множестве чисел, заданном представлением действительных чисел в ЭВМ. Поэтому уменьшение шага сетки приводит к увеличению точности лишь до определенного предела, а затем погрешность вырастает.


При рассмотрении проблемы выбора ограничимся простейшими явными одношаговыми методами решения задачи Коши первого и второго порядков.


Вспомним основные понятия, необходимые для анализа методов.


Порядок метода. Погрешность разностной схемы характеризуется порядком аппроксимации — числом членов разложения в ряд Тейлора точного решения, совпадающих с разностным уравнением.


Мы будем сравнивать метод первого порядка — метод Эйлера:


Уп+1 — Уп + h • f (tn, уп) ,


и метод второго порядка — улучшенный метод Эйлера (или предиктор-корректор):


уп



Уп +



h

2








Оценка точности интегрирования. При условии устойчивости и сходимости разностной схемы, порядок точности метода, вообще говоря, совпадает с порядком аппроксимации.


Фактическая погрешность решения конкретной задачи Коши может быть апостериорно оценена по правилу Рунге: по одной и той же формуле метода интегрирования вычисляются решения в одной точке, но с разными шагами; разность между двумя значениями сеточной функции и аппроксимирует погрешность метода.


Когда ставится вопрос об экономии вычислений, предлагаются иные подходы вычисления погрешности, требующие меньшего количества арифметических операций. Например, погрешность одношагового метода может быть оценена на основе комбинации формул интегрирования различных порядков точности. Такой подход дает, как правило меньшее количество вычислений правой части уравнения.


Автоматический выбор шага. Еще один способ снижения трудоемкости вычислений — увеличение шага сетки.

Скачать в pdf «Вычислительные методы в механике и теплофизике: учебный научно-исследовательский практикум»