Области достижимости летательных аппаратов

Скачать в pdf «Области достижимости летательных аппаратов»

(2.2)


при t0 =0, у(0)= У0 , ®x(0)= &x0 .


(2.3)


Требуется построить область достижимости в плоскости Oyrax для момента времени 3.


ОД для линейной системы (2.1), (2.2) является компактной и выпуклой, поэтому достаточно построить только границу ОД.


Границу ОД будем строить по точкам. Для расчета точек границы ОД из начальной позиции (2.3) к моменту времени 3 сформулируем следующую вспомогательную задачу оптимального управления.


T


В плоскости Oyrax введем единичный вектор l = [cos £, ,sin £, ] (см. рис. 1.5) и рассмотрим задачу о максимальном смещении в направлении этого вектора к моменту времени 3, т.е. будем максимизировать функционал


J = lTx(3)=у (3)cos + шx(3)sin ,    (2.4)


гдеxT (t) = [y (t),шx(t)].


Систему уравнений (2.1) запишем в векторном виде:


(2.5)


dx л г,


— = Ax + Bu, dt


где A =



0    1


0    с,



B =



0



с



2



u = 5„


Решение системы (2.5) с начальными условиями (2.3) запишем с помощью формулы Коши:


3


(2.6)


x(3) = X (3,10) x(t 0) + | X (3, т) Bu (x)dx,


где Х(3,т)- фундаментальная матрица системы.


С учетом (2.6) максимальное смещение в направлении вектора l определяется выражением


(2.7)


J = lTX(3, tо )x(t0 ) + р 1(t0, x(tо ),3,l),


3


где p1(t0, x(t0 ), 3, l) = max f lTX(3, т ) Bu(t) dx.


и ) t


to^x<3 *0


Выбирая для каждого момента времени т ( to < т < 3 ) оптимальное управление и(т) из условия

Скачать в pdf «Области достижимости летательных аппаратов»