Области достижимости летательных аппаратов

Скачать в pdf «Области достижимости летательных аппаратов»


3.    Наиболее универсальным для расчета ОД как линейных, так и нелинейных динамических систем является метод, основанный на расчете точек границы ОД с использованием методов оптимального управления.


Рассмотрим применение этого подхода для расчета ОД линейной системы, движение которой определяется векторным дифференциальным уравнением


dx


— = A(t) x + B(t )u + g (t);


dt    (1.13)


x = (x1, x2 ,..^ xn ); U = (ul, u 2 ,, xm );


u(t) e U, x(t0) = x0.


Пусть множество U для системы (1.13) компактно, тогда ОД G(?0, х0, t) является компактной, выпуклой и непрерывно меняется во времени при t e [t0, $ ].


Для расчета точки, принадлежащей границе ОД G(t0,x0,$) в плоскости двух первых координат 0x1x2 , рассмотрим следующую задачу оптимального программного управления.


Для системы (1.13) требуется определить программу управления ~(t), которая обеспечивает максимальное смещение в направлении вектора l в момент времени $, т.е. найти максимум функционала


J = lTx($),    (1.14)


где l — вектор, модуль которого равен единице.


Так как область достижимости требуется построить в плоскости двух координат x1, x2, то вектор l имеет следующий вид:


lT = (cos £ ,sin £ ,0,…,0),    (1.15)


где £ — угол между осью 0x1 и вектором l (рис. 1.5).


С учетом (1.15) критерий оптимальности можно записать в виде


J = xj($)cos£ + x2($)sin£ .    (1.16)

Рис. 1.5


В результате решения задачи оптимального программного управления о минимуме функционала (1.16) получим точку, принадлежащую границе ОД.


Изменяя угол £ от 0 до 2п и решая задачу оптимального управления для каждого направления вектора l , получим все точки границы выпуклой ОД.

Скачать в pdf «Области достижимости летательных аппаратов»