Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


В параметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, согласно которой результаты наблюдений хи, х2,…, xn рассматривают как реализации п независимых случайных величин с функцией распределения А(х;9). Здесь 9 — неизвестный параметр, лежащий в пространстве параметров 0 заданном используемой вероятностной моделью. Задача оценивания состоит в определении точечной оценок и доверительных границ (либо доверительной области) для параметра 9.


Параметр 9 — либо число, либо вектор фиксированной конечной размерности. Так, для нормального распределения 9 = (m, о2) — двумерный вектор, для биномиального 9 = p -число, для гамма-распределения 9 = (a, b, c) — трехмерный вектор, и т.д.


В современной математической статистике разработан ряд общих методов определения оценок и доверительных границ — метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод одношаговых оценок, метод устойчивых (робастных) оценок, метод несмещенных оценок и др. Кратко рассмотрим первые три из них. Теоретические основы различных методов оценивания и полученные с их помощью конкретные правила определения оценок и доверительных границ для тех или иных параметрических семейств распределений рассмотрены в специальной литературе, включены в нормативнотехническую и инструктивно-методическую документацию.


Метод моментов основан на использовании выражений для моментов рассматриваемых случайных величин через параметры их функций распределения. Оценки метода моментов получают, подставляя выборочные моменты вместо теоретических в функции, выражающие параметры через моменты.


В методе максимального правдоподобия, разработанном в основном Р. А. Фиш ером, в качестве оценки параметра 9 берут значение 9*, для которого максимальна так называемая функция правдоподобия


/ь 9)9) …/(Аъ 9Х


где хи, х2,…, хп — результаты наблюдений;/(х, 9) — их плотность распределения, зависящая от параметра 9, который необходимо оценить.


Оценки максимального правдоподобия, как правило, эффективны (или асимптотически эффективны) и имеют меньшую дисперсию, чем оценки метода моментов. В отдельных случаях формулы для них выписываются явно (нормальное распределение,

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»