Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Оценка, для которой смещение стремится к 0, когда объем выборки стремится к бесконечности, называется асимптотически несмещенной. В примере 7 показано, что оценка s2 является асимптотически несмещенной.


Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. Для несмещенных оценок показателем точности оценки служит дисперсия — чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещенных оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки М(9П — 9)2. Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,


т.е. математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата ее смещения.


Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностностатистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок 1/n, а смещение — не более чем 1/n, где n — объем выборки. Для таких оценок при больших n второе слагаемое в правой части (3) пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближенное равенство


с =с


п



где с — число, определяемое методом вычисления оценок 9n и истинным значением оцениваемого параметра 9.


С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания —эффективность. Эффективная оценка — это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.


— 2 Доказано [11], что х и 0 являются эффективными оценками параметров да иа


нормального распределения. В то же время для выборочной медианы х справедливо предельное соотношение


]im -^5- = -м 0,637.


D(x) я


Другими словами, эффективность выборочной медианы, т.е. отношение дисперсии


эффективной оценки * параметра да к дисперсии несмещенной оценки Л этого параметра при больших n близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»