Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»




где Х — случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты


наблюдений. В терминах теории статистического оценивания это означает, что 0 -несмещенная оценка дисперсии (см. ниже). В то же время статистика S не является несмещенной оценкой дисперсии результатов наблюдений, поскольку


Однако у s2 есть другое свойство, оправдывающее использование этой статистики в качестве выборочного показателя рассеивания. Для известных результатов наблюдений xi, x2,…, xn рассмотрим случайную величину У с распределением вероятностей



= *) = —п



г = 1,2,


и Р(У = х) = 0 для всех прочих х. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения У — это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений x1y x2,…, xn. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины У:


= х,

= S


Второе из этих равенств и является основанием для использования s2 в качестве выборочного показателя рассеивания.


Отметим, что математические ожидания выборочных средних квадратических отклонений M(s) и M(s0), вообще говоря, не равняются теоретическому среднему квадратическому отклонению а. Например, если Х имеет нормальное распределение, объем выборки n = 3, то



0,724а,



,) = 0,887а


Кроме перечисленных выше статистических характеристик, в качестве выборочного показателя рассеивания используют размах R — разность между n-й и первой порядковыми статистиками в выборке объема п, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке: R = x(n) — x(1).


В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах — среднее арифметическое размахов, полученных в определенном количестве выборок одинакового объема. Популярно и межквартильное расстояние, т.е. расстояние между выборочными квартилями x([0,75n]) и x([0,25n]) порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где [0,75n] — целая часть числа 0,75n, а [0,25n] -целая часть числа 0,25n.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»