Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Чтобы записать выражение для эмпирической функции распределения в виде формулы, введем функцию с(х, у) двух переменных:


0,


х<у,


1,


X > у.

Случайные величины, моделирующие результаты наблюдений, обозначим


(да), JTa (да),…, Jf, (да), да е Q


. Тогда эмпирическая функция распределения Fn(x) имеет


вид 1


Из закона больших чисел следует, что для каждого действительного числа х эмпирическая функция распределения Fn(x) сходится к функции распределения F(x) результатов наблюдений, т.е.


Fn(x) ^ F(x) (1)


при n ^ го. Советский математик В.И. Гливенко (1897-1940) доказал в 1933 г. более сильное утверждение: сходимость в (1) равномерна по х, т.е.


sup I F,



И о



при n ^ го (сходимость по вероятности).


В (2) использовано обозначение sup (читается как «супремум»). Для функции g(x) под sup g(х)


х    понимают наименьшее из чисел а таких, что g(x)<a при всех x. Если функция


supg(x) = g(x0)


g(x) достигает максимума в точке хо, то —    .В таком случае вместо sup пишут


max. Хорошо известно, что не все функции достигают максимума.


В том же 1933 г. А.Н.Колмогоров усилил результат В.И. Гливенко для непрерывных функций распределения F(x). Рассмотрим случайную величину


sup |    (х)F0 (х) |


*


и ее функцию распределения


К,


По теореме А.Н.Колмогорова


Lm Кя(х)=К(х)


при каждом х, где К(х) — т.н. функция распределения Колмогорова.


Рассматриваемая работа А.Н. Колмогорова породила одно из основных направлений математической статистики — т.н. непараметрическую статистику. И в настоящее время непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат широко используются. Они были разработаны для проверки согласия с полностью известным теоретическим распределением, т.е. предназначены для проверки гипотезы

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»