Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Если Y1 и Y2 — независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром р0, определенные по выборкам с объемами п1 и п2 соответственно, то Y] + Y2 -биномиальная случайная величина, имеющая распределение (19) с р = р0 и п = п1 + п2. Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр.


Характеристики биномиального распределения вычислены ранее:


M(Y) = np, D(Y) = np(l-p).


В главе «События и вероятности» для биномиальной случайной величины доказан закон больших чисел:



для любого ^ > 0 . С помощью центральной предельной теоремы закон больших чисел можно уточнить, указав, насколько Y/n отличается от р.


Теорема Муавра-Лапласа. Для любых чисел а и b, a<b, имеем

а <


■Ь



У-



■ пр



=


где Ф(х) — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.


Для доказательства достаточно воспользоваться представлением Y в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для M(Y) и D(Y) и центральной предельной теоремой.


Эта теорема для случая р = х доказана английским математиком А.Муавром (1667-1754) в 1730 г. В приведенной выше формулировке она была доказана в 1810 г. французским математиком Пьером Симоном Лапласом (1749 — 1827).


Гипергеометрическое распределение


Г ипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком А, либо как не обладающий этим признаком. Г ипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y, равная числу объектов, обладающих признаком А в случайной выборке объема n, где n<N. Например, число Y дефектных единиц продукции в случайной выборке объема n из партии объема N имеет гипергеометрическое распределение, если n<N. Другой пример -лотерея. Пусть признак А билета — это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N, а некоторое лицо приобрело n из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»