Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Плотность гамма-распределения имеет вид


v,a,b,c) = ^Г(Й)



(х — с)й lb~IL exp







Плотность вероятности в формуле (17) определяется тремя параметрами a, b, c, где а>0, b>0. При этом а является параметром формы, b — параметром масштаба и с — параметром сдвига. Множитель 1/Г(а) является нормировочным, он введен, чтобы


Здесь Г(а) — одна из используемых в математике специальных функций, так называемая «гамма-функция», по которой названо и распределение, задаваемое формулой (17),


При фиксированном а формула (17) задает масштабно-сдвиговое семейство распределений, порождаемое распределением с плотностью


х < 0.


(18)


Распределение вида (18) называется стандартным гамма-распределением. Оно получается из формулы (17) при b = 1 и с = 0.


Частным случаем гамма-распределений при а = 1 являются экспоненциальные распределения (с X = 1/b). При натуральном а и с=0 гамма-распределения называются распределениями Эрланга. С работ датского ученого К.А.Эрланга (1878-1929), сотрудника Копенгагенской телефонной компании, изучавшего в 1908-1922 гг. функционирование телефонных сетей, началось развитие теории массового обслуживания. Эта теория занимается вероятностно-статистическим моделированием систем, в которых происходит обслуживание потока заявок, с целью принятия оптимальных решений. Распределения Эрланга используют в тех же прикладных областях, в которых применяют экспоненциальные распределения. Это основано на следующем математическом факте: сумма k независимых случайных величин, экспоненциально распределенных с одинаковыми параметрами X и с, имеет гамма-распределение с параметром формы а = к, параметром масштаба b = 1/X и параметром сдвига кс. При с = 0 получаем распределение Эрланга.


Если случайная величина X имеет гамма-распределение с параметром формы а таким, что d = 2a — целое число, b = 1 и с = 0, то имеет распределение хи-квадрат с d степенями свободы.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»