Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось — изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых


х f(xdx = 4<я


(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.


Функция распределения Ф(х) задается равенством

№ =


—вд


где ‘    — — плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно


сложное выражение:


Здесь Я =3,1415925… — известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… — основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 — год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,


е = lmi 1 + —    ■


п J


При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В. Смирновым [8].


Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.


Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.


Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности


вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины Un, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения Un стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем этот предельный переход справедлив для любого числа х.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»