Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Замечание. В настоящей книге сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, ^г-алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии [1].


Каждая из трех характеристик — математическое ожидание, медиана, мода — описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами — отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений — симметричных унимодальных — все три характеристики совпадают.


Плотность распределения f(x) — плотность симметричного распределения, если найдется число хо такое, что



■*)



Равенство (3) означает, что график функции y = f(x) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х0. Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению


(4)


Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны хо.


Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х0 = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства


«=/(-*)


и


ад=1-^(-л:) (6)


соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при х > Х0.


Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения


P(X<a) = P(-a <X<a) = F(a) -F(-a),


где F — функция распределения случайной величины Х. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то


P(X<a) = 2F(a) — 1.


Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если то


Х>а) = 2а

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»