Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»



и утверждение



(12)


Доказательство. Как показано в примере 10, случайная величина m имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха р и является суммой к независимых случайных величин X i = 1, 2. …, к, каждое из которых равно 1 с вероятностьюр и 0 с вероятностью 1-р, т.е. m= X]+ X2+… + Хк .Применим к X], X2,…, Хк теорему Чебышёва с С = р(1 -р) и получим требуемое неравенство (12).


Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по Р. Мизесу (18831953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний. Продемонстрируем эту связь. Для этого сначала отметим, что


при всех р. Действительно,


Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать С = А. Тогда при любом р и фиксированном 6 правая часть неравенства (12) при возрастании к приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.


Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна А из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба — частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз — частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 [6, с. 148].


О проверке статистических гипотез

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»