Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»



М(Х,) +




к



С


к,F



(11)


Доказательство. Рассмотрим случайные величины Yk Х^1 + Х2+…,+ Хк и Zk = Yk/k. Тогда согласно утверждению 10


МДк) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хк), D(Yk) = D^O+D^- +D(Х)


Из свойств математического ожидания следует, что М^к) = МДк)/к, а из свойств дисперсии — что D(Zk) = D(Yk)/k2. Таким образом,


М^к) ={М(Х1)+М(Х2) +-+М(Хк)}/к,


D(Zk) =ф(Х^(Х2)+… +D(Хk)}/k2.


Из условия теоремы Чебышёва, что


Применим к Zk второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку



с


к


0<С-


ks2


что и требовалось доказать.


Эта теорема была получена П.Л.Чебышёвым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва.


Пример 13. Пусть С = 1, ^ = 0,1. При каких к правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?


В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.


Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании k и фиксированных Си ^ убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом е. Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.


Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все Xi , i = 1, 2, …, имеют одно и то же

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»