Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Доказательство. Пусть Х принимает значения х, х2,…, хт, в то время как У принимает значения у2, у2,…, у к- Сгруппируем в задающей М(ХУ) сумме члены, в которых Х и У принимают фиксированные значения:


Л


М(ХГ)= 2


(6)


j<k


Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то


^Х(оу)У(ф)Р(ф)


Из последнего равенства и определения вероятности события заключаем, что равенство


(6) можно преобразовать к виду


. Воспользовавшись


Так какХ и У независимы, то    я:)Р(7    Т,)


этим равенством и свойством символа суммирования


/ ^


/ ^


=


Е^


w* )

заключаем, что


(



Г



MimA Е*л


Х = хд)


Е-т^О


/ = уА


/


/


(7)


Из равенства (5) следует, что первый сомножитель в правой части (7) есть М(Х), а второй — М(У), что и требовалось доказать.


Пример 8. Построим пример, показывающий, что из равенства М(ХУ)=М(Х)М(У) не следует независимость случайных величин Х и У. Пусть вероятностное пространство


£U,, Я»,, № т-г


состоит из трех равновероятных элементов 1 J s. Пусть


5) = 1,Г(^) = 0


Тогда ХУ = Х, М(Х) = М(ХУ) = 0, следовательно, М(ХУ) = М(Х)М(У). Однако при этом Р(Х= 0) = Р(У=0) = Р(Х= 0, У=0) =    _ V-^ в то время как вероятность события {Х=0,


1×1-1


7=0} в случае независимых X и У должна была равняться 3    3    9


Независимость нескольких случайных величин X, Y, Z,… означает по определению, что для любых чисел x, y, z,… справедливо равенство

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»