Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


Утверждение 3. Пусть Х — случайная величина, М(Х) — ее математическое ожидание, а —некоторое число. Тогда


1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) M[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2.


Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной,


X{cs)-a, т е фуНКцИЯ    отображает пространство элементарных событий ^ в


единственную точку а. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то

срс И    срсП


Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая — из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+ У, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:


М(Х+ У) = М(Х) + М(У).


А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) — М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) — М(Х) = 0.


Поскольку (Х- а)2 = {(X-M(X)) + (M(X) — a)}2 = (X-M(X))2 + 2(X-M(X))(M(X) — a) +


(M(X) — a)2, то M[(Х- a)2] =M(X-M(X))2 + M{2(X-M(X))(M(X) — a)} +M[(M(X) — a)2]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы — сама эта константа, а потому M[(M(X) — a)2] = (M(X) — a)2. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M{2(X -M(X))(M(X) — a)} = 2(M(X) — a^(X-M(X)). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X-a)2]=M[(X-M(X))2]+(a-M(X))2, что и требовалось доказать.


Из сказанного вытекает, что М[(X-a)2] достигает минимума по а, равного M[(X-M(X))2], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»