Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


М(Х) = 2Х(а>)РИ,


(4)


т.е. математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.


Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что


, 1    n 1    , 1    „ 1    ^ 1    „ 1    l-i-2-ь 3 + 4+ 5+ 6    21    ^


= 1х — + 2х — + 3х — + 4х— + 5 х —+ 6х — =-= — = 3,5.


6    6 б б б б    б    б


Утверждение 2. Пусть случайная величина Хпринимает значения х1} х2,…, хт. Тогда справедливо равенство


(5)


т.е. математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.


В отличие от (4), где суммирование проводится непосредственно по элементарным


событиям, случайное событие ^    ■ Х(ф) —    } может состоять из нескольких


элементарных событий.


Иногда соотношение (5) принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью определения 3, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения (5).


Для доказательства соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями


случайной величины


Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то




По определению вероятности события


CP iSf ( £r*


С помощью двух последних соотношений получаем требуемое:


Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х х2,…, хт на числовой оси массы P(X=xj), P(X=x2),P(X=xm) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения 3.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»