Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»


В^БЛ,.


м


где события BAi и BAj с разными индексами i и j несовместны. По теореме сложения вероятностей


jt






Воспользовавшись теоремой умножения, находим, что


Получена т.н. «формула полной вероятности». Она широко использовалась математиками при конкретных расчетах еще в начале 18 века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей П.Лапласом лишь в конце этого века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции.


Формулы Байеса


Применим формулу полной вероятности для вывода т.н. «формул Байеса», которые иногда используют при проверке статистических гипотез. Требуется найти вероятность события Ai, если известно, что событие В произошло. Согласно теореме умножения


Р(А,В) = P(B)P(A,B) = P(Aj) P(BAi).


Следовательно,





Используя формулу полной вероятности для знаменателя, находим, что






Две последние формулы и называют обычно формулами Байеса. Общая схема их использования такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно которых может быть сделано к гипотез Ai, A2,…, Ak. Априорные (от a priori (лат.) — до опыта) вероятности этих гипотез есть P(A1), P(A2),…, P(Ak). Известно также, что при справедливости гипотезы Ai вероятность осуществления события В равна P(BA) Произведен опыт, в результате которого событие В наступило. Естественно после этого уточнить оценки вероятностей гипотез. Апостериорные (от a posteriori (лат.) — на основе опыта) оценки вероятностей гипотез P(A1B), P(A2B),…, P(AkB) даются формулами Байеса. В прикладной статистике существует направление «байесовская статистика», в которой, в частности, на основе априорного распределения параметров после проведения измерений, наблюдений, испытаний, опытов анализов вычисляют уточненные оценки параметров.

Скачать в pdf «Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты»