Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


arg(-1 — i) = 5п + 2kn, k= 0, ±1, ±2,.


Если |z| = 1, ф = arg z, то по формуле (1.16) имеем z = cos ф + i sin ф. Комплексное число cos ф + i sin ф обозначается символом вгф , т.е. функция вгф для любого действительного числа ф определяется формулой Эйлера


в = cos ф + i sin ф.    (1-20)


Следовательно, для любого действительного числа ф имеют место равенства


ф = arg el<p ,    | el<p | = 1.


В частности, elm = 1,    em = -1, em/1 = i,    e’m/1 = -i. Из (1.20) заменой ф на


-ф получается равенство


(1.21)


e’lip = cos ф — i sin ф.


Сложением и вычитанием равенств (1.10) и (1.11) получаются формулы Эйлера


cosф = 1(e^ + eф),


(1.11)


sin ф = —(ei<pг-‘ф), 1i


с помощью которых тригонометрические функции выражаются через показательную функцию.


Несложно доказать, что функция e^ обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число i было действительным. Отметим основные из них


e^1 e^1 = ei( ф1+ф1)

(1.13)


= ei (ф1ф1)


n = en , n = 0, ± 1, ± 1, …


(1.14)


(1.15)


Из формул (1.16) и (1.10) следует, что любое комплексное число z ф 0 можно представить в виде


z = rel(p,    (1.16)


где r = |z|, ф = arg z. Запись комплексного числа в виде (1.16) называется показательной формой комплексного числа.


С помощью равенств (1.13) и (1.14) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»