Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


Следовательно, любое комплексное число z#0 можно представить в виде


z = r (cos ф + i sin ф).    (116)


Обозначение arg является сокращением французского слова argument (аргумент).


Запись комплексного числа в виде (1.16) называется тригонометрической формой комплексного числа.


Из формул (1.15) вытекает, что если z = x + iy, ф = arg z, то


cos ф =



x









Из рис. 1.3 видно, что справедливо и обратное утверждение: число ф является аргументом комплексного числа z = x + iy только тогда, когда выполняются оба равенства (1.17). Следовательно, для нахождения аргумента комплексного числа z = x + iy нужно решить систему уравнений (1.17).


Система (1.17) имеет бесконечно много решений, и все эти решения содержатся в формуле ф = ф0 + 2kn, k = 0, ±1, ±2,…, где ф0 — одно из решений системы (1.17). Таким образом, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если ф0 — одно из значений аргумента комплексного числа z, то все значения аргумента этого числа находятся по формуле


arg z = ф0 + 2kn,    k= 0, ±1, ±2,.    (1.18)


Из системы (1.17) вытекает, что аргумент ф комплексного числа z = x + iy удовлетворяет уравнению


tgф = -.


x


Следует иметь в виду, что не все решения уравнения (1.19) являются решениями системы (1.17).


Пример 4. Найдем аргумент комплексного числа z = -1 — i. Так как


, ~ -1 1 точка z = -1    — i лежит в третьей четверти и tgф = —^ = 1, то

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»