Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


Разностное уравнение может быть составлено не только относительно прямых, но и относительно обратных разностей. Если в уравнении (3.26) заменить разности их значениями (3.18), то получим другую форму записи разностного уравнения:


а о y[k + n] + ai y[k + n —1] +… + a„y[ k ] = f [k ],    (3.27)


где



ar



Z/ tm-v 7 r^m-v (-1)    bvCn-v ,



m-v


n-v



v=0



(n -v)!    ;


(m — v)!(n — m)! ’



m = 0, 1, 2, …, n.


Если функция, стоящая в правой части уравнений (3.26), (3.27), т.е. f [k], равна нулю, то разностное уравнение называется однородным, если эта функция не равна нулю, то — неоднородным. Для решения разностных уравнений, т. е. для определения значений искомой решетчатой функции y[k], требуется знать ее начальное значение и начальные значения всех ее разностей до (n -1)-й включительно. Методы решения линейных разностных уравнений подобны методам решения дифференциальных уравнений. Более полная аналогия проявляется при операционных методах решения разностных уравнений, из которых наиболее распространены методы Z — преобразования и дискретного преобразования Лапласа.


О решении линейных разностных уравнений.


Пусть дано разностное уравнение n-го порядка в форме (3.27): а о y[k + n] + a1 y[k + n —1] +… + any[k ] = f [ k ].


Начальные (граничные) условия: y[0] = y0; y[1] = y1;    y[n-1] = yn-1.


Произведем Z — преобразование обеих частей уравнения (3.27). Пусть Z{f[k]} =    =


F(z); Z{y[k]} = Y(z). Тогда, используя теорему сдвига (3.9) и перенося члены, не содержащие искомого изображения Y, в правую часть, получим

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»