Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


роста, то есть | ft)| < M ec01 при t > 0, то ряд (3.4) сходится при всех q, у которых Re q > c0T0 .


Действительно, так как q = sT0 = (c + rn)T0, то, в силу условия роста, имеем


f [kT,] e-kq =| f [kT,]|



e



-k (c +/ro)T0



= |f[kT„] e~kcT0 <M e



к (c0 -c )T0


Так как с0с < 0, поэтому ряд


ГО


£ Mek (c0 -c)7° k=0


сходится. Вследствие признака сравнения, в таком случае сходится ряд


£| f [kT()]e kq .


k=0


Сходимость последнего ряда влечет за собой сходимость ряда (3.4). Следует сказать, что хотя ряд (3.4) сходится лишь при Re q > c0T0 , порожденная им функция F (q) обычно имеет смысл на всей комплексной плоскости q, кроме, может быть, отдельных особых точек.


Как и раньше, будем писать    F*(q) = L {f (t)1t (t)}.


Будем использовать и такую запись F * (q) = L{f [kT0 ]},    (k = 0,l,2,…),


или, если это не вызывает сомнений, более короткую


F * (q) = L{ f [kT0 ]}.


Если функция ft) имеет отрицательный показатель роста, то изображение по Лапласу оригиналаf(t)j(t) существует, в частности, при чисто мнимых значениях q. Обозначив эти значения через /юТ0 и подставив их в правую часть (3.4), нетрудно увидеть, что дискретное преобразование Лапласа превращается в дискретное преобразование Фурье оригинала f(t)1T(t), а именно


Ft («в) = £ f [kT„ ]е z B k Т».    (3.5)

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»