Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


3    + 4i ~(з + 4i)3 — 4i)_    32+42    _    25    _ 25    25 *’


1.1.2 Геометрическая интерпретация комплексного числа


Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = x + ly изображается точкой плоскости с координатами (x, y), и эта точка обозначается той же буквой z (рис .L.L). Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости, очевидно, является взаимно однозначным. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.


Ясно, что точки z и -z симметричны относительно точки 0, а точки z и z симметричны относительно действительной оси, так как, если z = x + ly, то -z = (-x) + i(-y), а z = x + i(-y) (рис L.L).


y


Комплексное число z изображается вектором с началом в точке 0 и концом в точке z (рис. L.L). Такое соответствие между комплексными числами и векторами комплексной плоскости с началом в точке 0 также является взаимно однозначным. Поэтому вектор, изображающий комплексное число z, обозначается той же буквой z.


Из формулы (L.8) и рис L.L видно, что длина вектора z равна z и имеют место неравенства


Re z < z , Im z < z .


С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сложение и вычитание комплексных чисел. Из формулы (1.5) вытекает, что число zL + z2 изображается вектором, построенным по обычному правилу сложения векторов z и z2 (рис. 1.2). Вектор z — z2 строится как сумма векторов z и -z2 (рис. 1.2).

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»