Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


f(n}(tSF(s)- sn~’f (0)- sn2f‘ (0)-… — f»-1 (0),    (2.9)


где f (k)(0)= lim f(k), k=0, 1, …, «-1.


t ^+0


В самом деле, интегрируя по частям, получаем


00



00


f(t) sdt = [f (t)e-st ][ + sIf (t)-stdt.


0 0


Если Re s > a0, где a0 — показатель роста f(t), то подстановка при t = да дает нуль, и поэтому


f (‘)о sF (s)- f(0).    (2.10)


Справедливость формулы (2.9) при любом n устанавливается с помощью индукции.


Формула (2.9) упрощается, еслиf(0)= f‘(0) =…=f(«-1) (0)=0. В этом случае


f(« )(t) •о- sn F(s) и, в частности, f’(t) о s F(s), т.е. дифференцированию оригинала соответствует умножение на s его изображения. Это одно из важнейших свойств преобразования Лапласа.


4. Дифференцирование изображения. Если F (s) = Lff (t)}, то


F(n)(s) = Lf(-t )»f (t)}.    (2.11)


Действительно, так как функция F(s) регулярна в полуплоскости Re s > a0, где a0 — показатель роста функции f(t), то по теореме раздела 2


да



F (s)=    (tf (t)dt = Ie ^(- tf (t))dt.



00


Следовательно, F’(s) = Lf-1)f (t)} . Общая формула (2.11) доказывается по индукции.


Пример 4. Найдем изображение функций t», t » e Xt, t»sin rot, cos rot.


Из формул (2.4)-(2.8), следует, что


n «! t» о



t sin rot о



n+1


s


2sro



,n Xt / 4 t e о



n!



(s -X)



n+1

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»