Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


ГО


F(s)=J e-stf(t) dt.    (2.1)


0


Будем рассматривать комплекснозначные функции f(t), заданные на всей действительной оси t и удовлетворяющие условиям:


1.    На любом конечном интервале оси t функция ft) непрерывна кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.


2.    f (t) = 0 при t < 0.


3.    Существуют такие постоянные M и С0, что для всех t > 0 выполняется неравенство


f (t)| £ MeC0.    (2.2)


Функцию ft), удовлетворяющую условиям 1-3, будем называть оригиналом, а ее преобразование Лапласа, т.е. функцию F(s) — изображением функции ft). Связь между изображением и соответствующим оригиналом будем обозначать так:


f (t) ^ F (s) или F (s ) = L{f (t)}.


Отметим, что, как правило, для функций, с помощью которых описываются физические процессы, условия 1- 3 выполняются.


Пример 1. Рассмотрим функцию Хевисайда


J0, t < 0,


U, t> 0.


ГО


Функция F(s) = j*e~stdt определена в области Re s > 0 и


ГО


0


l(t )«• i.    (2.3)


s


Заметим, что если для функции g(t), удовлетворяющей условиям l и 3, не выполняется условие 2 , то для функции


g(t), t > 0 0, t < 0


f(t ) = l(t )g(t)


условие 2 выполняется, и, следовательно, эта функция является оригиналом. Например, функции t • 1(t), el 1(t), cos t • 1(t) — оригиналы.


Условимся в дальнейшем опускать множитель 1(t) в записи функций, считая эти функции равными нулю при t < 0. Например, вместо 1(t), t 1(t), sin t1(t) будем писать соответственно 1, t2, sin t. Тогда формула (2.3) примет вид

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»