Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


где кривая у с началом в точке z0 = 1 и концом в точке z лежит в области D1 (рис. 1.24). В частности, имеем:


arg (iy) = 2,    если у > 0,


arg x = п,    если x < 0,


arg (iy) = =2,    если у < 0 и т. д. (ср. пример 3).


Найдем значения функции (1.65) на верхнем и нижнем берегах разреза.


При x > 0 имеем arg (x + i0) = lim arg(x + iy) = 0, аналогично arg (x — i0) = 2п.


y^+0


Следовательно, функцию (1.65) нельзя «склеить» вдоль луча (0, + ю) так, чтобы эта функция осталась непрерывной. (Функцию (1.64) также нельзя «склеить» непрерывно вдоль луча (-ю, 0)). Отсюда, в частности, следует, что в области 0 < |z| < ю нельзя выделить непрерывную ветвь функции arg z.


2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Одним из важных приложений теории функций комплексного переменного является метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений,


основанный на интегральном преобразовании Лапласа (операционный метод). Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного ее изображение — функцию комплексного переменного. При этом операции над изображениями оказываются значительно более простыми, чем операции над исходными функциями (оригиналами). Так, например, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение для оригинала заменяется алгебраическим уравнением для его изображения. Решив полученное для изображения уравнение, восстанавливают по изображению его оригинал, который и является искомым решением заданного дифференциального уравнения.


2.1 Основные свойства преобразования Лапласа


2.1.1 Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение


Пусть функция ft) действительного переменного определена на полуоси t > 0. Ее преобразованием Лапласа называется функция комплексного переменного

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»