Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


Заметим, что равенство (1.57) выполняется не для любых кривых y и y1 с общим началом и общим концом (ср. пример 1, b и с). Также и равенство (1.58) справедливо не для любой замкнутой кривой y.


Пример 2. Если y — окружность |z| = 1, ориентированная против часовой стрелки и проходимая один раз, то ЛY arg z = 2п.


Отметим еще два свойства приращения аргумента:


3. Если кривая y не проходит через точку z = 0, то


(1.59)



Лу arg z = J



ydx + xdy



i    2    2


x + y



(1.55)


ЛY arg z = — ЛY — 1 arg z.


4. Если кривая y = Y1 Y2 не проходит через точку z = 0, то


ЛУ1У2 arg z = АУ1 arg z + Ay2 arg z.


(1.60)


Эти свойства вытекают из формул (1.56) и свойств интегралов (формулы (1.50) и (1.51)).


1.6.3 Непрерывные ветви функции arg z


Пусть D — односвязная область, не содержащая точек z = 0 и z = да. Зафиксируем точку z0 е D и выберем arg z0 — одно из значений аргумента z0 . Положим


arg z = arg zo + Ay arg z,    (1.61)


где кривая у с началом в точке z0 и концом в точке z лежит в области D.


По свойству 1 п. 1.6.2 приращение аргумента AY arg z не зависит от кривой у, так как в односвязной области любые кривые с общим началом и общим концом можно непрерывно деформировать друг в друга, оставаясь в области D. Следовательно, функция (1.61) однозначна в области D. Эта функция непрерывна в области D, так как ее можно записать в виде

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»