Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»

(1.53)



(1.54)


dx = cos ф drr sin ф dф, dy = sin ф dr + r cos ф dф,


откуда ^ф = — sin ф dx + cos ф dy. Следовательно,


1    1    — ydx + xdy


dф = d arg z =-2-2—.


X + y


Рассмотрим интеграл J d arg z. Этот интеграл равен разности значений


Y


аргумента z в конечной и начальной точках кривой Y, т. е. равен приращению аргумента вдоль кривой: Ay arg z . Следовательно,


Формулу (1.55) можно записать в виде


(1.56)


Л    т fd^


Лrarg z = ImJ—,


Y ^


Tdz Tdx + idy — ydx + xdy


так как Im— = Im-=-22—, а переменную интегрирования в (1.56)


z    x + iy x + y


можно обозначить любой буквой.


Рассмотрим свойства приращения аргумента:


1. Пусть кривую y можно непрерывно деформировать в кривую Yb не проходя через точку z = 0 (т. е. кривые y и y1 гомотопны в области 0 < |z| < да) (рис. 1.22). Тогда имеет место равенство


Л y arg z = Л^а^ z.    (1.57)


Из свойства 1 вытекает, в частности, свойство


2. Если замкнутая кривая y не проходит через точку z = 0 и эту кривую можно непрерывно деформировать в точку, не проходя через точку z = 0 (т. е. кривая y гомотопна нулю в области 0 < |z| < да), то имеет место равенство


Л^, arg z = 0.    (1.58)

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»