Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


П


S = Хzk-1(zk — zk-1).


k=1


~    ~ n


Полагая Zk = zk, получим I z dz = limS, где S = ^ zk (zk — zk-1). Следова


:    ix    k=i


1


2Г-Хо


тельно, Jz dz о lim (S + S),


где


22 a ,


o.o_ X ‘ ( 2    2    _    2    2    2    2    2    2    _ 2    2 _ i


S + S = ^(zk     zk-1) =    z1    — z0    +    z2    —    z1    + … +    zn    — zn-1    =    zn        z0    = b


k=1


откуда


|z dz = -2(b2a2)


Таким образом, интеграл | z dz не зависит от пути интегрирования. В частности, интеграл |z dz по любой замкнутой кривой равен нулю.


Y


Пример 3. Вычислим интеграл In = |(z-a)ndz, где n — целое число,


p


Ср -окружность |z — a| = р, р > 0, ориентированная против часовой стрелки .


Уравнение окружности Ср запишем в виде z = a + ре ,    0 < t < 2п.


Тогда


2п


dz = iрeltdt и по формуле (1.48) находим In = ^рп++1elt(n+v>dt, откуда при n = -1


0


получаем I-1 = 2ni, а при n ф -1 по формуле Ньютона — Лейбница


в


Ja(t )dt = Ф(в) -Ф(а), где Ф(t) — первообразная функции a(t), то есть Ф'(^ =


а


a(t), а < t < в , находим


n+1


I = Р_eit (n+1)


n


n +1



t=2п



= 0.



t=0


Таким образом

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»