Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


П


X (zk — zk1) = z1 — z0 + z2 — z1 + …. + zn — zn-1 = zn — z0 = b — a, откуда J dz = b-a.


k=1    y


Таким образом, J dz зависит только от начальной и конечной точек кривой y и


Y


не зависит от пути интегрирования. В этом случае вместо J dz можно писать


Y


Jdz. В частности, если a = b, то Jdz = 0, т.е. интеграл Jdz по любой замкнутой кривой равен нулю.


1.5.2 Свойства интегралов


Из формулы (1.47) следует, что непрерывная на кривой функция интегрируема на этой кривой. Из свойств криволинейных интегралов вытекает также, что имеют место следующие формулы:


1.


Jff(z)+b g (z)]=a J f (z )dz + b J g (z )dz,


(149)


где a и b — любые комплексные числа (линейность интеграла).

2.    J f (z)dz = — J f (z)dz,


,,-i


(1.50)


то есть при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак.


3.    J f (z )dz = J f (z )dz + J f (z )dz.




(1.51)


Пример 2. Пусть f(z) = z, y — кривая с началом в точке а и концом в точке b.


Так как функция f(z) = z непрерывна на кривой Y, то интеграл J z dz сущест-


Y


вует и предел (1.46) не зависит от выбора точек zk, Zk. Положим Zk = zk-1. Тогда


где

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»