Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


В частности, если ez = 1, то z = 2kni, к = 0, ±1, ±2, …


Замечание. Если ez = A, то комплексное число z называется логарифмом комплексного числа А ф 0 и обозначается ln A. Из формулы (1.42) следует, что


ln A = ln |A| + i arg A.


В частности, ln 1 = 2kni, ln (-1) = к + 1)ni, ln i = к + )ni — — целое число).


Тригонометрические функции. Функции sin z и cos z для комплексных значений z определяются формулами


sin z



— (etze«iz),    cos z


2i



i( eiz + e’iz). 2



(1.43)


Из этого определения вытекают следующие свойства функций sin z и


cos z:


1.    Функции sin z и cos z непрерывны во всей комплексной плоскости.


2.    Функции sin z и cos z принимают все значения, то есть уравнения sin z = A и cos z = A имеют решения для любого комплексного числа А.


3.    Все формулы элементарной тригонометрии, справедливые при всех действительных значениях x, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z. Например,


sin2z + cos2 z =1, sin 2z = 2 sin z cos z,


sin(zi + z2) = sin zicos z2 + cos z1 sin z2, cos(zi + z2) = cos z1cos z2 — sin z1 sin z2.


В частности,


a)    sin (z+2п) = sin z, cos (z + 2п) = cos z,


то есть функции sin z и cos z являются периодическими с периодом 2п;

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»