Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


функция, непрерывная в D.


1.4.3 Последовательности и ряды


Последовательность {fn(z)} называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции fz), если для любого s > 0 существует такой номер N, что неравенство


1 fn(z)- f(z)l < s


выполняется для всех n > N и всех z e E.


ГО


Ряд ^ gk (z) называется равномерно сходящимся на множестве Е, ес-


k=1


ГО


ли последовательность его частичных сумм Sn (z )=^ gk (z) сходится равно-


k=i


мерно на множестве Е.


Справедливы следующие утверждения:


1. Критерий Коши (для последовательностей). Для того, чтобы последовательность {fn(z)} равномерно сходилась на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого s > 0 существовал такой номер N, чтобы для всех n > N, m >N и всех ze E выполнялось неравенство


| fn{z)fm(z) < S.


X


2. Критерий Коши (для рядов). Для того, чтобы ряд X Sk (z)


k=1


сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого s > 0 существовал такой номер N, чтобы для всех n > N, m > n >N и


m


X Sk (z )<s.


всех zeE выполнялось неравенство


k=n


3. Признак Вейерштрасса. Если члены ряда Xgk(z) удовле-


k=1


творяют оценке gk (z) < ck для всех zeE, k=l, 2,…, a числовой ряд сходится,



X



k=1


то ряд X gk (z) сходится равномерно на множестве Е.


k=1


4. Пусть f(z) =lim fn(z ) где fn(z), n = 1, 2, …, — непрерывные функ-

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»