Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


Имеет место также непрерывность суперпозиции непрерывных функций: если функция f(z) непрерывна в точке а и функция F(Z) непрерывна в точке Z = f a), то функция Ffz)) непрерывна в точке а.


Пример 3. Функция z, Re z, Im z, z, |z| непрерывны во всей комплексной плоскости.


Пример 4. Многочлен P(z) = ayzn + a1zn1 + + an с комплексными коэффициентами является непрерывной функцией во всей комплексной плоскости.

P(Z)


Пример 5. Рациональная функция R(z) = —, где P(z) и Q(z) много-

Q(z)


члены, непрерывна во всех точках комплексной плоскости, в которых Q(z) ф 0.


Введем определение: функция f(z), определенная на множестве Е, называется равномерно непрерывной на множестве Е, если для любого s > 0 существует такое 8 > 0, что | fz)- fz2)| < s для любых zie E, z2 e E, удовлетворяющих неравенству | zi z2| < 8.


Так как равномерная непрерывность на множестве Е функции fz) = u(x, y) + +iv(x, y) равносильна равномерной непрерывности на множестве Е двух функций u(x, у) и v(x, y), то из курса математического анализа следует, что функция fz), непрерывная на замкнутом множестве Е, равномерно непрерывна на этом множестве. (Напомним, что множество Е называется замкнутым, если все предельные точки множества Е принадлежат этому множеству.)


В дальнейшем часто будут рассматриваться функции, непрерывные в области и непрерывные в замкнутой области. Имеют место следующие утверждения:


1.    Непрерывная в области D функция равномерно непрерывна в любой ограниченной области D1, такой, что D1 с D.


2.    Если функция fz) равномерно непрерывна в ограниченной области D, то ее можно доопределить в граничных точках области D так, что получится

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»