Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


Точно так же, как и в курсе математического анализа, доказывается Критерий Коши. Последовательность {zn} сходится тогда и только тогда, когда для любого s > 0 существует такой номер N, что для всех n > N и m > N выполняется неравенство | zn — zm | < s .


1.2.2 Расширенная комплексная плоскость


Понятие «бесконечность» вводится с помощью следующего определения. Определение. Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к бесконечности:


lim Zn = x,    (1.37)


n^x


если


lim |zn| = x.    (1.38)


n^x


Это определение формально совпадает с соответствующим определением для действительных чисел, так как соотношение (1.38) означает, что для любого R > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n > N выполняется неравенство


(1.39)


| Zn | > R .


Рассмотрим геометрический смысл соотношения (1.38). Неравенство (1.39) означает, что точка zn лежит вне круга радиуса R c центром в точке 0, то есть точка zпринадлежит множеству точек z , удовлетворяющих неравенству    | zn | > R (рис.


1.6). Это множество называется окрестностью бесконечности. Следовательно, точка z = x является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности точки z = x содержатся все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа.


Таким образом, «числу» z = x ставится в соответствие символическая бесконечно удаленная точка. Комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью. Наглядное представление расширенной комплексной плоскости дает следующая геометрическая интерпретация комплексных чисел.


Расширенную комплексную плоскость называют также комплексной сферой или сферой Римана. Это название оправдывается следующей интерпретацией (стереографическая проекция). Представим себе плоскость в трехмерном пространстве и сферу радиуса, лежащую на этой плоскости и касающуюся ее в начале координат (рис. 1.7).

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»