Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»

(1.35)


| z« — а | < s.


При этом пишут lim z« = а.


«^ж


Другими словами, число а называется пределом последовательности {z«}, если


lim zna =    (1.36)


n—x

Рис. 1.5


Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Геометрический смысл неравенства (1.35) заключается в том, что точка zn лежит в круге радиуса s с центром в точке а (рис. 1.5). Этот круг, то есть множество точек z, удовлетворяющих неравенству | z — а | < s, где s > 0, называется s — окрестностью точки а. Следовательно, точка а является пределом последовательности {zn}, если в любой окрестности точки а содержатся все члены этой последовательности, за исключением их конечного числа.


Таким образом, определение предела последовательности {zn} является обычным определением предела последовательности точек плоскости, сформулированным в терминах комплексных чисел.


Каждой последовательности комплексных чисел {zn} соответствуют две последовательности действительных чисел    {xn}    и    {yn},    где    zn    =    xn    +    iyn,    n =


1,2,…


Имеет место


Теорема 1. Существование предела limzn = а, где а = а + ip, равно-


n—x


сильно существованию двух пределов:


lim xn = а,    lim yn = в.


n——x    n——x


Из теоремы 1 и свойств сходящихся последовательностей действительных чисел вытекают следующие свойства последовательностей комплексных чисел: если lim zn = а и lim Zn = b, то


n—x    n—x


lim (zn ± Zn) = а ± b, lim (znZn) = аЬ,


n—x    n—x


z а


lim -tt = T    (Zn ф 0 при n = 1, 2, b Ф 0 ) .


n—x Zn    b

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»