Математические основы теории управления: избранные главы

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»


где а ф 0 — комплексное число, п — натуральное число. Пусть a = ре , z = ге.


Тогда    Гетф = рвгв. Из этого уравнения с помощью свойства (1.31) находим Г


= Р,


«ф = 0 + 2кп, откуда r = «р, фк = (0 + 2kn)/n и


zk = nJPe(Q+2kn)i/n, к = 0, ±1, ±2,…    (1.33)


Покажем, что среди комплексных чисел (1.33) ровно n различных. Заметим,


что числа z0, zbz2,…, zn-1 различны, так как их аргументы


0    0 + 2п    0 + 2п(« -1)


Фо = —,    Ф1 =-,,    Ф«-1 =-


n    n    n


различны и отличаются друг от друга меньше, чем на 2п (см. (1.31)). Далее zn = z0, так как    |zn| =    |z0| = «р    и ф « = ф 0 + 2п.    Аналогично    zn+1    = z1,    z-1    = zn-1    и


так далее.


Таким образом, уравнение (1.32) при а ф 0 имеет ровно « различных корней:


zk = «ре(0+2kn)i/«, к = 0, 1, …, « — 1.    (1.34)


На комплексной плоскости точки (134) расположены в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса


^Р с «/р с центром в точке 0 (рис. 1.4).


1.2 Последовательности и ряды комплексных чисел


1.2.1 Последовательности


Определение предела последовательности {z«} комплексных чисел z1, z2, z«,… формально такое же, как и определение предела последовательности действительных чисел.


Определение. Комплексное число а называется пределом последовательности {z«}, если для любого s > 0 существует такой номер N = N (s), что для всех n > N выполняется неравенство

Скачать в pdf «Математические основы теории управления: избранные главы»