Введение в вычислительную механику

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»


Вектор деформаций с учётом функций формы {и}=[^{Д}можно представить произведением


{s}=[D]{U}=[D]([N]{A])=([D][N]){A}.


F(A l)

«7^Y 1 Al


а


Рис. 3.3. Влияние внешней силы P на удлинение А/ образца (а) или внутренних сил ст на величину деформирования е (б); E, к — коэффициенты пропорциональности; F — площадь поперечного сечения образца


Заменяя вектор напряжений произведением матрицы упругости на вектор деформации {ст} = [C]{s} и транспонируя его {ст}т = |_ctJ = ([C]{s})T = ([sJ[C]) с учётом того, что [C]T = [C], получаем LpJ(A}=LaJ{([D][N])T[C]([D][N]){A}JV и окончательно


V


|lpJLa^|([D][N])T[C]([D][N])J^ |{А}=о.


Так как вектор перемещений {А} гарантированно ненулевой, то выражение в фигурных скобках равно нулю


LpJLa^{([D][N])T[C]([D][N])JV^={0} и [K]{A}={P} с [К]= {([D][N])T[C]([D][N])JV.


V


Вектор перемещений {А} является искомым и определяется в результате решения системы уравнений [^]{A}={P} для всей совокупности конечных элементов. Здесь {P} — вектор нагрузок, включающий локальные нагрузки, действующие на отдельно взятый элемент пространства, а [К] = [К]т.


3.4. Разновидности решений уравнения Пуассона


Уравнение Пуассона V2Ф = f(r,t) (табл.3.1) моделирует стационарные режимы в задачах электромагнетизма и термодинамики, а также некоторые задачи механических деформаций совместно






д д д


V =    +    +    — лапласиан, но так как функция Ф может быть матрицей уравнение для пло-


дХ dY dZ


ской системы координат Y, Z приобретает вид


ALA]+ALA]+f = о ,    (3.6)

дY I дY J дZ I дZ J


где коэффициент а может быть переменным в зависимости от Y, Z. Полагая, что ст есть:

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»