Введение в вычислительную механику

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»


b    n


J f (x)dx = lim £ f (x, )Ax, ■


Знак J, представляющий растянутую S (начальную букву латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное увеличение числа слагаемых интегральной суммы. Буквы а и b, указывающие границы отрезка, на котором выполняется суммирование, называются пределами интегрирования.


Таким образом, определенным интегралом функции от fx) в границах от а до b называется


П


предел интегральной суммы вида £ f (xi)Ax;— при условии, что длина наибольшего частичного от-


i=1


резка Лхг стремится к нулю.


Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = fx) неотрицательна на отрезке [a; b], где а < b, ин-


b


теграл J f(x)dx численно равен площади Sпод кривойy = fx) на [a; b] (рис. 2.3).


а

При стремлении длины отрезкаЛxi ^ 0 к нулю ломаная (рис. 2.4) приближается к начальной кривой, а площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.


Механический смысл определенного интеграла. Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.


Найдем работу А силы F по перемещению точки M вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х0, хь    b = хп0< х1<„.< хп) разобьем на п частичных


отрезков [х0; х1], [х1; х2], ■■■, п-1; хп]. Сила, действующая на отрезке [хг-1; хг], меняется от точки к точке. Для отрезка малой длины Ахг— = =х,х;-1 можно считать силу F постоянной и равной значению функции F = F(x) в любой точке отрезка. Тогда работа, совершенная силой на отрезке [хг-1; х,], равна произведению F^^Ak,.

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»