Введение в вычислительную механику

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»


2.1. Вводные математические сведения


2.1.1. Производная, ее геометрический и физический смысл


Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение (рис. 2.1) секущей М0М, когда точка М стремится (приближается) к М0 по или вдоль линии l , а угол у стремится к нулю произвольным образом. При этом секущая М0М стягивается в точку М0.


Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, стремящегося к нулю. Производную функции y=f(x) в точке х0 обозначают символом y=f’(x0). Следовательно, по определению


ГЫ= lim f(+ Ax) —


AX ^0    Ax


или y‘( x0) = lim — .


AX ^0 Ax




«производная», «вторая производная» ввел Ж. Лагранж (1797 г.), он также предложил обозначения y‘, f‘(x),f «(x) (1770, 1779 гг.). Обозначениеdy/dxвпервые встречается у Лейбница (1675 г.).


Геометрический смысл производной: производная функции y=f(x) при x = x0 равна угловому


коэффициенту касательной к графику данной функции в точке М^о, fx0)), т.е. f ’(x0)=tg(a), где a — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.2). Таким образом, интенсивность изменения функции в направлении оси x измеряется значением производной по X. Такие производные характеризуют поведение функции в пространстве по координатным осям, поэтому их называют производными по направлению. Очевидно, что нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке.

Скачать в pdf «Введение в вычислительную механику»