Технологическое прогнозирование

Скачать в pdf «Технологическое прогнозирование»

г



1


I    T


1 I lim — jx2(t, f ,д/)Л |.


Д/I t^® T    |


L    о    lj


При этом Gx получается всегда действительной неотрицательной функцией.


Важное свойство спектральной плотности заключается в ее связи с автокорреляционной функцией. В частности, для стационарного процесса эти функции связаны преобразованием Фурье:


Gx(/)=4jRx(i) cos2jfxdx. 0


Математическое ожидание функции x(t) также может быть определено по спектральной плотности:


г


V=Gfdf.


Иными словами, среднее значение функции входит в спектральную плотность через дельта-


X


функцию. Среднее значение квадрата функции x(t) описывается зависимостью ^    2 = j G ( ,f)df.


X J X


0


Следовательно, среднее значение квадрата равно общей площади под кривой спектральной плотности как функции частоты. Спектральная плотность применяется для исследования частотной структуры процессов


Взаимная спектральная плотность.Понятие взаимной спектральной плотности двух случай-ных процессов непосредственно вытекает из определения взаимной корреляционной функции:


1 T


Rxy(x)=XimTjx(t)y(t+ -*)dt.


T^x


Так же как спектральная плотность одной реализации процесса представляет собой преобразование Фурье автокорреляционной функции, так и взаимная спектральная плотность двух реализаций представляет преобразование Фурье взаимной корреляционной функции. Поскольку взаимная кор-реляционная функция, как правило, не обладает свойством четности, взаимная спектральная плот-ность есть обычно комплексная величина GXy(f) = CXy(f) — iQXy(f), где CXy(f) называется синфазной составляющей, а Qxy(f) — квадратурной составляющей взаимной спектральной плотности.


Удобно представить взаимную спектральную плотность в показательной форме: GXy(f)=GXy(f)e ^’^^где модуль и аргумент связаны сCXy(/иQxy/)формулaми


2 2


Pxym-WCxy (f) +0 xy{D, lQxy( f)!


$xy (f) = arctg |    ■ ■ ■    | .

Скачать в pdf «Технологическое прогнозирование»