Ряды Фурье

Скачать в pdf «Ряды Фурье»




Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф.Устинова


Кафедра высшей математики


Е. С. Баранова, В. И. Иванов, Г. А. Согомонова

Ряды Фурье


Санкт-Петербург


2008


8. Ряды Фурье.


8.1.    Ортогональные системы функций………………………….3


8.2.    Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты


Фурье………………………………………………………….4


8.3.    Ряд Фурье для чётных и нечётных функций……………11


8.4.    Неравенство Бесселя. Свойство коэффициентов


Фурье………………………………………………………..15


8.5.    Равномерная сходимость ряда Фурье…………………..17


8.6.    Интегральная формула для частной суммы ряда


Фурье………………………………………………………..19


8.7.    Признак сходимости ряда Фурье…………………………21


8.8.    Ряд Фурье для функций произвольного периода……..26


8.9.    Интеграл Фурье. Преобразование Фурье……………….30


8. Ряды Фурье


8.1. Ортогональные системы функций Определение


Последовательность функций    {fn (x)}    называется


ортогональной на промежутке [a; b], если выполняется условие


b


j fn (Х)’ fm (X)dx = 0 при П * m


Теорема 1


Последовательность функций 1, sinх, cosх, sin2x, cos2x , …, sinnx, cosnx , … ортогональна на промежутке [-п;п] ■


Доказательство


П    П


j sin nxdx = 0 , j cos nxdx = 0 , так как sin nx и cos nx


-П    -П


2п — периодические функции.


п    1    П


j sin nx cos mxdx = — j [sin (n + m) x + sin (n m ) x ~^dx = 0,


   2


при n * m ,


n    1 П


j sin nx sin mxdx = — j [cos (n m) x cos (n + m) x ~^dx = 0 ,

Скачать в pdf «Ряды Фурье»