Экстремальные модели менеджмента и экономики

Скачать в pdf «Экстремальные модели менеджмента и экономики»


Пример. Рассмотрим задачу линейного программирования:


f = 3x1 + 4x2 ^ тах,


x1 — x2 > 2,


2x1 + x2 > 10,


x2 < 3, xb x2 > 0.


Допустимая область решений АВС не ограничена в направлении grad f = {3;4}, т.е. в направлении наискорейшего роста целевой функции. Это означает, что в допустимой области не существует точки, в которой целевая функция достигла бы максимума, т.е. задача не оптимизируется (рис. 2.10).

С другой стороны, слишком жесткие или противоречивые ограничения могут привести к тому, что область допустимых решений будет пуста. Рассмотрим еще одну задачу линейного программирования.


Пример. Минимизировать функцию f = 2x1+ 3x2 при огра-ничениях


Xi + Х2 > 10,


3x1 + 5x2< 15,


Xi, X2 > 0.


Ограничения таковы, что область допустимых решений задачи пуста (рис. 2.11). Такая задача не имеет ни одного решения, удовлетворяющего ограничениям задачи, так как ограничения противоречивы. Значит, задача не оптимизируется.

Рис. 2.11


В целом можно говорить о том, что в задачах линейного программирования с числом переменных не более двух или с числом свободных переменных n-m < 2:


1)    допустимая область решений является выпуклым многоугольником (ограниченным или неограниченным);


2)    оптимальное решение достигается в вершинах допустимой области (либо в одной вершине, тогда решение единственное; либо в двух смежных вершинах, тогда решением является любая точка отрезка, границами которого являются эти вершины);


3)    задача линейного программирования может не иметь оптимального решения либо в силу неограниченности области допустимых решений, либо в силу противоречивости ограничений задачи.


Вопросы для самопроверки


1.    Применимы ли для задач линейного программирования классические методы отыскания экстремума функции?

Скачать в pdf «Экстремальные модели менеджмента и экономики»