Экстремальные модели менеджмента и экономики

Скачать в pdf «Экстремальные модели менеджмента и экономики»


Пример. Определить значения переменных xi, x2, доставляющих максимум функции Z = xi + 3x2 при ограничениях:


-Xi + Х2 < 1,


Xi — 2X2 < 1,


Xi + Х2 < 3, Xi, Х2 > 0.


1. Построение области допустимых решений. Известно, что всякое линейное неравенство на плоскости xOx2 задает полуплоскость. Например, неравенство X1 + X2 < 3 задает полуплоскость, изображенную на рис. 2.3. Поэтому каждое ограничение задачи (5) будет задавать полуплоскость. Построим на плоскости xOx2 все ограничения задачи.


Границы полуплоскостей задаются уравнениями -xi + x2 = i — (i); xi — 2x2 = i — (2); xi + x2 = 3 -(3); xi =0; x2 = 0 — (5) и имеют вид прямых, отмеченных номерами на рис. 2.4. Область допустимых решений задачи есть многоугольник ABCDO, отмеченный на рис. 2.4 серым цветом.

Рис. 2.3


Рис. 2.4


2. Нахождение в допустимой области оптимального решения. Для определения точки максимума целевой функции построим градиент функции (рис. 2.5), координаты которого {1;3}. В направлении этого вектора определим крайнюю точку области допустимых решений задачи, в которой достигается максимальное значение функции. Будем называть опорной прямой Г линию уровня1, которая проходит через крайнюю точку области допустимых решений (область допустимых решений в этом положении линии уровня будет лежать по одну сторону от опорной прямой). Точка, в которой достигается максимум целевой функции на области допустимых решений, есть точка пересечения опорной прямой Г и крайней точки области допустимых решений.


Опорная прямая проходит через точку В многоугольника допустимых решений задачи. Это точка, в которой достигается максимальное значение функции (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Скачать в pdf «Экстремальные модели менеджмента и экономики»